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話題のあれ。
自然数 n の関数 f(n), g(n) を
f(n) = nを7で割った余り
g(n) = 3f(Σkn(k=1〜7))*1
によって定める。
(1) すべての自然数nに対してf(n7)=f(n) を示せ。
(2) あなたの好きな自然数nを１つ決めてg(n)を求めよ。そのg(n)の値をこの設問におけるあなたの得点とする。
1995 京大・後期・文系
ゴリ押しで解いてみた。
まず(1)。
n=7p+q (pは任意の自然数,q=0,1,2...6)とおくと
n7 = 1*(7p)7+7*略+21*略+35*略+35*略+21*略+7*略+1*q7
になるのは、(a+b)^nがn段の…何ていうんだっけ？三角に足してくやつ*2。あれを使って容易に展開できる。まぁきちんと展開しなくても右端だけが残るのは自明なので支障無いのだけども。
すると1*p7のとこ以外は7で割り切れるから、
f(n7) = f(g7)
となって、gは0〜6の7通りなので、あとは計算してごり押しで一応証明になる。
0,1,128,2187,16384,78125,279936。剰余を求めると確かにそうなってる。不思議だぁ。
(2)もゴリ押しの算数で解いた。解いた後に昼飯買いに行く途中で気付いたんだけど、もっと計算量少なくても良い。
現場だったらどうするかっていうと、多分、(1)解き終えた時点で答えにあたりをつけて、山勘で代入して運良く理論値が出てめでたしめでたしかも。
私の解き方としては、
f(1n+2n+...7n) = f(f(1q)+f(2q)+...f(7q)) (qはnを7で割った剰余。つまり0〜6のいずれか)
なので*3 k6まで計算すれば求まる、つまり計算量は有限だ(=算数で解ける)と見立てた上で、f(kn)の一覧表を作る*4。どうやらf(kn)は(1)の結果から最長でも周期６でループしそうなので、表もそのようなサイズに。
で、ゴリゴリ計算。ザ・算数。ただし当該kにおけるf(k^n)がループに入ったと見えたら、以後は計算しなくて可*5。k=2,4,6で楽ができた。k=7は無条件で0埋めたらいいし。
剰余の一覧表は下記。
n|1234567... -+------- 1|1111111... 2|2412412... 3|3264513... 4|4214214... 5|5462315... 6|6161616... 7|0000000... -+------- S|21,14,21,14,21,6,21... F|0000060...
Sってのはn=1...7での剰余の和。Fってのは、その剰余の和の剰余。
今回私の使った算数的解法では、この表を作る前に、knの表も作っている。56とかくそめんどくさい。よくまぁ計算ミスしなかったもんだ。でもこのせいで制限時間は余裕でアウト。しょせん私ゃ算数しか出来ない文系人ですからー（この問題は文系向け出題だけど）。
後から気づいたことに、必要なのは剰余だけなんだから、knそのものは計算しなくても良かった。
kn = 7p+q と置くと、 kn+1 = k(7p+q) 。で、f(k(7p+q)) = f(kq) なので、剰余だけ見て計算できる。１桁の掛け算と割り算なので、小学生でもできる。もちろん制限時間も楽勝。数学すげー。
この問題が好評なのは、解るわぁ。問題形式の独特さに、美しい経過と結果が待ってる。
この美しい経過。出てくる数字もそうだけど、複数の気付きが必要な点。とりわけ、力押しで正答が出る段階から、さらにもう一歩リファクタリングが可能な点。このリファクタリング（というか数学力）又はソロバニック*6な計算力が無いと時間内に点数もらえない難易度設定も絶妙。
現場でこの問題解いたら、試験時間中に「あぁ、俺は素晴らしい大学に入るんだなぁ」って誤解する思うと思う。
書きそこねてたインセプションの感想。
教えるのではなく自分で気付いた（と思わせる）方が効果があるというのはコーチングや詐欺では常套手段なので、アイデアをポジティブに味付けてインセプションするという発想は、そういう発想がある人には突飛ではない。
冒頭は６部かよって思う。夢の夢の夢の夢まで行くのは珍しい。でも、どれが何段目の夢なのかは、ラストシーンを除けば明示されている、解釈の必要のない論理的な話。なのでロリータ（原作小説ね）やアリス・イン・タイドランドに比べて「理」解は容易。どうせ解りやすい話なんだから、もっと解りやすく出来ると思うけど。
個人的には、同じ設定で、登場人物を４人くらいに絞って、かずはじめに漫画で書いて欲しいと思った。そっちの方が面白くなりそう。
論理パズルみたいな映画であって、それ以上の何かがあるわけでもなく、パズル的に楽しいですよ、と。
